Qu'est-ce que la conjecture de Poincaré?

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Problème parmi les plus connus des mathématiques, la conjecture de Poincaré était un mystère non résolu depuis sa formulation – en 1904 – jusqu’à ce que le Russe Grigori Perelman le résolve en août 2006. Formulé par le Français Henri Poincaré, la conjecture s’énonce ainsi :
« Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans bord. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3 ? ». Poincaré avait pris soin de souligner que « cette question nous entraînerait trop loin ». Pour le commun des mortels, la question est de savoir si toute variété de dimension 3 fermée, simplement connexe et sans bord est homéomorphe à une sphère. C’est-à-dire tenter de distinguer ce qui distingue une sphère à trois dimensions d’autres formes plus complexes qui ont des trous comme les tores, des anneaux en forme de chambre à air. En l’an 2000, l’institut de mathématiques Clay a mis à prix la conjecture de Poincaré – considéré comme l’un des mystères du millénaire - et a offert pas moins d’un million de dollars pour sa résolution. Une somme que Grigori Perelman n’encaissera jamais car il a omis de publier ses travaux dans une revue internationale comme le veut l'usage. Ce qui le distingue des autres formes de comportements humains.